محاسبه مساحت

همچنین مشاهده کنید: خواص چند ضلعی ها

مساحت اندازه گیری میزان فضای داخلی یک شکل است. محاسبه مساحت یک شکل یا سطح می تواند در زندگی روزمره مفید باشد - به عنوان مثال ممکن است لازم باشد بدانید که برای پوشاندن دیوار چقدر رنگ بخرید یا برای کاشت چمنزار به چه دانه چمن نیاز دارید.

این صفحه موارد ضروری را که باید برای درک و محاسبه مناطق اشکال مشترک شامل مربع و مستطیل ، مثلث و دایره ها بدانید ، شامل می شود.

محاسبه مساحت با استفاده از روش شبکه

وقتی یک شکل روی یک شبکه مقیاس کشیده می شود می توانید با شمارش تعداد مربع های شبکه داخل شکل ، منطقه را پیدا کنید.



شبکه شماره گذاری شده برای کمک به محاسبه مساحت یک شکل.

در این مثال 10 مربع شبکه در داخل مستطیل وجود دارد.


برای یافتن مقدار مساحت با استفاده از روش grid ، باید اندازه ای که مربع شبکه نشان می دهد را بدانیم.

این مثال از سانتی متر استفاده می کند ، اما برای هر واحد طول یا مسافت ، روش مشابهی اعمال می شود. مثلاً می توانید از اینچ ، متر ، مایل ، فوت و غیره استفاده کنید.

با استفاده از شبکه برای محاسبه مساحت یک شکل.



در این مثال هر مربع شبکه دارای عرض 1 سانتی متر و ارتفاع 1 سانتی متر است. به عبارت دیگر ، هر مربع شبکه یک سانتی متر مربع است.

مربعهای شبکه را در داخل میدان بزرگ بشمارید تا مساحت آن را پیدا کنید ..

16 مربع کوچک وجود دارد بنابراین مساحت مربع بزرگ 16 سانتی متر مربع است.



در ریاضیات ما 'سانتی متر مربع' را به cm مخفف می کنیمدو.دوبه معنای 'مربع' است.

هر مربع شبکه 1 سانتی متر استدو.

مساحت میدان بزرگ 16 سانتی متر استدو.


شمارش مربعات روی یک شبکه برای پیدا کردن منطقه برای همه اشکال کار می کند - تا زمانی که اندازه شبکه مشخص باشد. با این حال ، وقتی اشکال دقیقاً متناسب با شبکه نباشند یا شما نیاز به شمارش کسرهای مربع شبکه داشته باشید ، این روش چالش برانگیزتر می شود.

شبکه مربع 1 سانتی متر برای کمک به محاسبه مساحت یک شکل.

در این مثال مربع دقیقاً روی شبکه قرار نمی گیرد.



ما هنوز هم می توانیم با محاسبه مربع های شبکه مساحت را محاسبه کنیم.

  • 25 مربع شبکه ای کامل (سایه به رنگ آبی) وجود دارد.
  • 10 نیم مربع شبکه (با رنگ زرد سایه دار) - 10 نیم مربع همان 5 مربع کامل است.
  • همچنین یک چهارم مربع (با سایه سبز) - (¼ یا 0.25 یک مربع کامل) نیز وجود دارد.
  • کل مربعات و کسرها را با هم جمع کنید: 25 + 5 + 0.25 = 30.25.

مساحت این میدان 30.25 سانتی متر استدو.

همچنین می توانید این را به صورت 30 سانتی متر بنویسیددو.


اگرچه استفاده از شبکه و شمارش مربعات در یک شکل یک روش بسیار ساده برای یادگیری مفاهیم منطقه است ، اما برای یافتن مناطق دقیق با اشکال پیچیده تر ، اما در مواردی که کسرهای زیادی از مربع های شبکه وجود دارد ، برای استفاده در کنار هم کمتر مفید است.

شنیدن موثر به شنونده نیاز دارد تا تلاشی را برای کاهش حواس پرتی انجام دهد.

بسته به نوع شکلی که با آن کار می کنید ، می توان مساحت را با استفاده از فرمول های ساده محاسبه کرد.

در ادامه این صفحه توضیح داده شده و مثالهایی از نحوه محاسبه مساحت یک شکل بدون استفاده از سیستم شبکه ارائه شده است.


مناطق چهار ضلعی ساده:
مربع و مستطیل و موازی

ساده ترین محاسبات (و معمولاً مورد استفاده) مساحت مربوط به مربع و مستطیل است.

برای یافتن مساحت مستطیل ، ارتفاع آن را در عرض ضرب کنید.

برای یک مربع فقط باید طول یکی از اضلاع را پیدا کنید (چون هر ضلع یک طول دارد) و سپس این را در خودش ضرب کنید تا مساحت پیدا شود. این همان گفتن طول استدویا طول مربع



تمرین خوب است که با اندازه گیری دو ضلع بررسی کنید که آیا شکل در واقع یک مربع است. به عنوان مثال ، دیوار اتاق ممکن است شبیه یک مربع باشد اما وقتی آن را اندازه می گیرید ، در واقع یک مستطیل است.

نموداری که نحوه محاسبه مساحت مربع و مستطیل را نشان می دهد.

اغلب ، در زندگی واقعی ، اشکال می توانند پیچیده تر باشند. به عنوان مثال ، تصور کنید که می خواهید مساحت یک طبقه را پیدا کنید ، تا بتوانید مقدار مناسب فرش را سفارش دهید.

پلان معمولی یک اتاق ممکن است از یک مستطیل یا مربع ساده تشکیل نشود:

نمودار برای نشان دادن نحوه محاسبه مساحت یک اتاق با شکل عجیب و غریب.

در این مثال ، و مثالهای دیگر مانند آن ، ترفند تقسیم شکل به چندین مستطیل (یا مربع) است. مهم نیست که چگونه شکل را تقسیم کنید - هر یک از سه راه حل به یک جواب می رسد.

راه حل 1 و 2 ایجاب می کند که دو شکل درست کنید و قسمتهای آنها را به هم اضافه کنید تا مساحت کل را پیدا کنید.

برای محلول 3 یک شکل بزرگتر (A) ایجاد می کنید و شکل کوچکتر (B) را از آن کم می کنید تا منطقه را پیدا کنید.


مشکل رایج دیگر یافتن منطقه یک مرز است - شکلی در شکل دیگر.

این مثال مسیری را در اطراف یک میدان نشان می دهد - عرض مسیر 2 متر است.

باز هم ، در این مثال روش های مختلفی برای بررسی مساحت مسیر وجود دارد.

می توانید مسیر را به صورت چهار مستطیل جداگانه در نظر بگیرید ، ابعاد آنها و سپس مساحت آنها را محاسبه کنید و در آخر مناطق را با هم جمع کنید تا جمع شود.

یک راه سریعتر این است که سطح کل شکل و مساحت مستطیل داخلی را بررسی کنید. مساحت مستطیل داخلی را از کل منطقه مساحت خارج کنید.

نمودار نشانگر نحوه محاسبه مساحت مرز یک شکل است.
  • مساحت کل شکل 16m × 10m = 160m استدو.
  • ما می توانیم ابعاد قسمت میانی را بررسی کنیم زیرا می دانیم مسیر اطراف لبه 2 متر عرض دارد.
  • عرض کل شکل 16 متر و عرض مسیر در کل شکل 4 متر است (2 متر در سمت چپ شکل و 2 متر در سمت راست). 16 متر - 4 متر = 12 متر
  • برای ارتفاع نیز می توانیم همین کار را انجام دهیم: 10 متر - 2 متر - 2 متر = 6 متر
  • بنابراین ما محاسبه کرده ایم که مستطیل میانی 12m × 6m است.
  • مساحت مستطیل میانی بدین ترتیب است: 12m × 6m = 72mدو.
  • در آخر مساحت مستطیل میانی را از سطح کل شکل دور می کنیم. 160 - 72 = 88 متردو.

مساحت مسیر 88 متر استدو.


به متوازی الاضلاع یک شکل چهار وجهی با دو جفت اضلاع با طول برابر است - با تعریف مستطیل نوعی متوازی الاضلاع است. با این حال ، بیشتر مردم تمایل دارند که موازی ها را به صورت اشکال چهار طرفه و دارای خطوط زاویه دار تصور کنند ، همانطور که در اینجا نشان داده شده است.

محاسبه مساحت یک موازی.

مساحت یک متوازی الاضلاع به همان روشی که برای یک مستطیل محاسبه می شود (ارتفاع عرض) اما مهم است که درک کنیم ارتفاع به معنای طول دو طرف عمودی (یا خارج از عمودی) نیست بلکه فاصله بین اضلاع است.

از نمودار می بینید که ارتفاع فاصله بین دو طرف بالا و پایین شکل است - نه طول ضلع.

به یک خط خیالی ، در زوایای راست ، بین دو طرف بالا و پایین فکر کنید. این قد است.


مناطق مثلث

فکر کردن یک مثلث به عنوان نیمی از مربع یا متوازی الاضلاع می تواند مفید باشد.

مثلث نیمی از مربع یا مستطیل است.

با فرض اینکه ابعاد یک مثلث را می دانید (یا می توانید اندازه گیری کنید) ، می توانید به سرعت مساحت آن را حل کنید.

مساحت یک مثلث (ارتفاع × عرض) ÷ 2 است.

به عبارت دیگر می توانید مساحت یک مثلث را به همان اندازه مساحت یک مربع یا متوازی الاضلاع کار کنید ، سپس پاسخ خود را بر 2 تقسیم کنید.

ارتفاع یک مثلث به عنوان یک خط زاویه دار از خط پایین (پایه) تا 'اوج' (نقطه بالای) مثلث اندازه گیری می شود.

در اینجا چند نمونه آورده شده است:

محاسبه مساحت مثلث

مساحت سه مثلث موجود در نمودار بالا یکسان است.

عرض و ارتفاع هر مثلث 3 سانتی متر است.

مساحت محاسبه می شود:

(ارتفاع × عرض) ÷ 2

3 × 3 = 9

9 ÷ 2 = 4.5

مساحت هر مثلث 4.5 سانتی متر استدو.


در موقعیت های واقعی زندگی ممکن است با مشکلی روبرو شوید که مستلزم پیدا کردن مساحت یک مثلث است ، مانند:

شما می خواهید انتهای شیروانی یک انبار را رنگ کنید. شما فقط می خواهید یکبار به فروشگاه تزئینات مراجعه کنید تا مقدار مناسب رنگ را بدست آورید. شما می دانید که یک لیتر رنگ 10 متر را پوشش می دهددواز دیوار برای پوشاندن انتهای شیروانی به چه مقدار رنگ نیاز دارید؟

انتهای شیروانی (مثلث)

شما به سه اندازه گیری نیاز دارید:

الف - ارتفاع کل تا راس سقف.

ب - ارتفاع دیواره های عمودی.

ج - عرض ساختمان.

در این مثال اندازه گیری ها عبارتند از:

A - 12.4 متر

B - 6.6 متر

C - 11.6 متر

مرحله بعدی به برخی محاسبات اضافی نیاز دارد. در مورد ساختمان به صورت دو شکل مستطیل و مثلث فکر کنید. از اندازه گیری هایی که انجام داده اید می توانید اندازه گیری اضافی مورد نیاز برای کار در ناحیه انتهای شیروانی را محاسبه کنید.

برای محاسبه مساحت ، شکل پیچیده را به اشکال ساده تقسیم کنید

اندازه گیری D = 12.4 - 6.6

D = 5.8 متر

اکنون می توانید مساحت دو قسمت دیوار را حل کنید:

مساحت قسمت مستطیل شکل دیوار: 6.6 × 11.6 = 76.56 متردو

مساحت قسمت مثلثی دیوار: (5.8 × 11.6) ÷ 2 = 33.64 متردو

این دو منطقه را با هم جمع کنید تا کل مساحت را پیدا کنید:

76.56 + 33.64 = 110.2 متردو

همانطور که می دانید یک لیتر رنگ 10 متر را پوشش می دهددواز دیوار ، بنابراین ما می توانیم تعداد لیترهای مورد نیاز برای خرید را بررسی کنیم:

110.2 ÷ 10 = 11.02 لیتر.

در حقیقت ممکن است دریابید که رنگ فقط در قوطی های 5 لیتری یا 1 لیتری فروخته می شود و نتیجه آن چیزی بیش از 11 لیتر است. ممکن است وسوسه شوید تا 11 لیتر دور بزنید اما با این فرض که ما رنگ را کم نمی کنیم ، این کافی نیست. بنابراین شما احتمالاً تا یک لیتر کامل بعدی جمع شده و دو قوطی 5 لیتری و دو قوطی 1 لیتری با 12 لیتر رنگ خریداری خواهید کرد. این امکان هرگونه اتلاف را فراهم می کند و بیشتر لیتر باقیمانده را برای لمس در تاریخ بعد باقی می گذارد. و فراموش نکنید ، اگر لازم است بیش از یک لایه رنگ بزنید ، باید مقدار رنگ یک لایه را در تعداد لایه های مورد نیاز ضرب کنید!


مناطق حلقه ها

برای محاسبه مساحت یک دایره باید آنرا بدانید قطر یا شعاع .

قطر و شعاع دایره

قطر یک دایره به طول یک خط مستقیم از یک طرف دایره به طرف دیگر است که از نقطه مرکزی دایره عبور می کند. قطر دو برابر طول شعاع است (قطر = شعاع × 2)

شعاع یک دایره به طول یک خط مستقیم از نقطه مرکزی دایره تا لبه آن است. شعاع نیمی از قطر است. (شعاع = قطر ÷ 2)

شما می توانید قطر یا شعاع را در هر نقطه از دایره اندازه گیری کنید - مهم این است که اندازه گیری را با استفاده از یک خط مستقیم که از (قطر) عبور می کند یا به مرکز (دایره) مرکز دایره منتهی می شود ، اندازه گیری کنید.

در عمل ، هنگام اندازه گیری دایره ها اغلب اندازه گیری قطر آسانتر است ، سپس بر 2 تقسیم می شود تا شعاع پیدا شود.

برای کار در ناحیه دایره به شعاع نیاز دارید ، فرمول زیر است:

مساحت دایره = & pi؛ Rدو.

این یعنی:

& pi؛ = Pi یک ثابت است که برابر با 3.142 است.

R = شعاع دایره است.

Rدو(شعاع مربع) به معنی شعاع × شعاع است.


بنابراین الف دایره با شعاع 5 سانتی متر دارای مساحت:

3.142 × 5 × 5 = 78.55 سانتی متردو.

به دایره ای به قطر 3 متر مساحت دارد:

ابتدا شعاع را کار می کنیم (3m m 2 = 1.5m)

سپس فرمول را اعمال کنید:

& pi؛ Rدو

3.142 × 1.5 × 1.5 = 7.0695.

مساحت دایره ای به قطر 3 متر 7.0695 متر استدو.


مثال نهایی

این مثال بسیاری از مطالب این صفحه را برای حل مشکلات ساده منطقه مورد استفاده قرار می دهد.

محاسبه مساحت - مثال خانه بلومینگتون بنجامین.

این است Ruben M. Benjamin House در بلومینگتون ایلینوی ، فهرست شده در ثبت ملی اماکن تاریخی ایالات متحده (شماره ثبت: 376599).

این مثال شامل یافتن قسمت جلوی خانه ، قسمت تخته سنگ چوبی است - به استثنای درب و پنجره ها. اندازه گیری های مورد نیاز شما عبارتند از:

A - 9.7 متر B - 7.6 متر
C - 8.8 متر D - 4.5 متر
E - 2.3 متر F - 2.7 متر
G - 1.2 متر H - 1.0 متر

یادداشت:

  • همه اندازه گیری ها تقریبی است.
  • جای نگرانی در مورد حاشیه اطراف خانه وجود ندارد - این در اندازه گیری ها لحاظ نشده است.
  • تصور می کنیم تمام پنجره های مستطیل شکل یک اندازه هستند.
  • اندازه گیری پنجره گرد قطر پنجره است.
  • اندازه گیری برای درب شامل مراحل است.

مساحت تخته سنگ چوبی خانه چقدر است؟

کارها و پاسخ های زیر:



پاسخ به مثال بالا

ابتدا ناحیه شکل اصلی خانه - یعنی مستطیل و مثلثی که شکل را تشکیل می دهد - کار کنید.

مستطیل اصلی (B × C) 7.6 × 8.8 = 66.88 متردو.

ارتفاع مثلث (A - B) 9.7 - 7.6 = 2.1 است.

بنابراین مساحت مثلث (2.1 × C) ÷ 2 است.
8.1 2. 2.1 = 48/18. 18.48 ÷ 2 = 9.24 متردو.

مساحت کامل جلوی خانه مجموع مساحت مستطیل و مثلث است:

66.88 + 9.24 = 76.12 متردو.

بعد ، قسمت های پنجره ها و درها را تمرین دهید ، بنابراین می توان آنها را از منطقه کامل کم کرد.

مساحت درب و پله ها (D × E) 4.5 × 2.3 = 10.35 متر استدو.

برای بدست آوردن اعتبار کامل برای توضیح چگونگی غلبه بر سد برقراری ارتباط ، دانشجو باید:

مساحت یک پنجره مستطیل شکل (G × F) 1.2 × 2.7 = 3.24 متر استدو.

پنج پنجره مستطیل شکل وجود دارد. مساحت یک پنجره را در 5 ضرب کنید.

3.24 × 5 = 16.2 متر مربع. (مساحت کل پنجره های مستطیل شکل).

قطر پنجره گرد 1 متر است شعاع آن 0.5 متر است.

با استفاده از & pi؛ Rدو، مساحت پنجره گرد را کار کنید: 3.142 × 0.5 × 0.5 =. 0.7855 متردو.

بعد قسمت های در و پنجره ها را جمع کنید.

(مساحت درب) 10.35+ (مساحت پنجره های مستطیل) 16.2+ (منطقه پنجره گرد) 0.7855 = 27.3355

در آخر ، کل مساحت پنجره ها و درها را از قسمت کامل کم کنید.

76.12 - 27.3355 = 48.7845

مساحت تخته سنگ جلوی خانه چوبی ، و جواب مسئله این است: 48.7845 متردو.

ممکن است بخواهید جواب را تا 48.8 دقیقه جمع کنیددویا 49 متردو.

صفحه ما را در مشاهده کنید برآورد ، تقریب و گرد کردن .

ادامه به:
سطح ، سطح و صفحه مرجع حجم

محاسبه حجم